Materi Ajar: Kelipatan, Faktor, KPK, dan FPB

Mata Pelajaran: Matematika

Fase / Kelas: C / VI (Enam)

Elemen: Bilangan

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Kelipatan, faktor, KPK, dan FPB bilangan asli.

A. Memahami: Fondasi Dasar (Kelipatan & Faktor)

Halo, anak-anak hebat! Sebelum kita menjadi ahli KPK dan FPB, kita harus paham dulu bahan dasarnya, yaitu Kelipatan dan Faktor.

1. Apa itu Kelipatan?

Kelipatan adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan asli (1, 2, 3, 4, ...). Sederhananya, ini adalah hasil dari "tabel perkalian" bilangan tersebut.

2. Apa itu Faktor?

Faktor adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis suatu bilangan tanpa sisa.

Cara mencari faktor: Cari semua perkalian yang menghasilkan bilangan tersebut.

3. Konsep Kunci: Bilangan Prima

Ini adalah bilangan "spesial" yang akan kita gunakan untuk mencari KPK dan FPB. Bilangan Prima adalah bilangan yang HANYA memiliki dua faktor: 1 dan dirinya sendiri.

B. Mengaplikasikan: Cara Menemukan KPK dan FPB

Cara paling sistematis dan anti-salah untuk menemukan KPK dan FPB adalah menggunakan Faktorisasi Prima (Pohon Faktor).

Langkah 1: Buat Pohon Faktor

Kita akan mencari KPK dan FPB dari dua bilangan, misalnya 24 dan 36.

  1. Pohon Faktor 24:
    • 24 → 2 × 12
    • 12 → 2 × 6
    • 6 → 2 × 3
    Faktorisasi Prima 24 = $2 \times 2 \times 2 \times 3 = $ $2^3 \times 3$
  2. Pohon Faktor 36:
    • 36 → 2 × 18
    • 18 → 2 × 9
    • 9 → 3 × 3
    Faktorisasi Prima 36 = $2 \times 2 \times 3 \times 3 = $ $2^2 \times 3^2$

Langkah 2: Menentukan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

Aturan KPK: "Pesta Semua Faktor". Ambil SEMUA faktor prima. Jika ada faktor yang sama, ambil yang memiliki pangkat TERBESAR.

Faktor 24: $2^3 \times 3$
Faktor 36: $2^2 \times 3^2$

Analisis KPK:

  • Faktor yang ada adalah 2 dan 3.
  • Pangkat terbesar 2 adalah $2^3$.
  • Pangkat terbesar 3 adalah $3^2$.

KPK = $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.

Langkah 3: Menentukan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)

Aturan FPB: "Hanya Faktor yang Sama (Kompak)". Ambil HANYA faktor prima yang SAMA (ada di kedua bilangan). Ambil yang memiliki pangkat TERKECIL.

Faktor 24: $2^3 \times 3$
Faktor 36: $2^2 \times 3^2$

Analisis FPB:

  • Faktor yang sama-sama dimiliki adalah 2 dan 3.
  • Pangkat terkecil 2 adalah $2^2$.
  • Pangkat terkecil 3 adalah $3^1$.

FPB = $2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$.

C. Bernalar: Kapan Menggunakan KPK vs FPB? (HOTS)

Ini adalah bagian terpenting! Bagaimana membedakan soal cerita KPK dan FPB?

Studi Kasus 1: Masalah KPK (Kejadian Berulang)

Kata Kunci KPK: "kapan ... bersama-sama lagi?", "setiap ... sekali", "bersamaan lagi", "bertemu lagi".

Soal KPK selalu tentang mencari kelipatan (waktu di masa depan, jadwal berikutnya).

Soal: Lampu A menyala setiap 6 detik. Lampu B menyala setiap 8 detik. Pada pukul 10:00, kedua lampu menyala bersamaan. Pukul berapa keduanya menyala bersamaan lagi?

Penalaran: Soal ini menanyakan "kapan bersamaan lagi". Ini adalah masalah mencari kelipatan waktu. Kita gunakan KPK.

  • KPK dari 6 dan 8:
    • $6 = 2 \times 3$
    • $8 = 2^3$
    • KPK = $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$.

Jawaban: Keduanya akan menyala bersamaan lagi setiap 24 detik. Jadi, pada pukul 10:00:24.

Studi Kasus 2: Masalah FPB (Membagi Sama Rata)

Kata Kunci FPB: "dibagi sama rata", "jumlah terbanyak", "setiap ... berisi sama banyak", "sebanyak-banyaknya".

Soal FPB selalu tentang membagi atau mengelompokkan barang secara adil dan maksimal.

Soal: Ibu guru memiliki 20 buku tulis dan 30 pensil. Beliau ingin membagikannya ke dalam beberapa kantong hadiah untuk siswanya. Setiap kantong harus berisi buku dan pensil dengan jumlah yang sama. Berapa kantong hadiah *sebanyak-banyaknya* yang bisa dibuat?

Penalaran: Soal ini meminta kita "membagi" 20 dan 30 secara adil ke dalam "sebanyak-banyaknya" kantong. Ini adalah masalah mencari pembagi (faktor) terbesar. Kita gunakan FPB.

  • FPB dari 20 dan 30:
    • $20 = 2^2 \times 5$
    • $30 = 2 \times 3 \times 5$
    • FPB = $2 \times 5 = 10$.

Jawaban: Kantong hadiah sebanyak-banyaknya yang bisa dibuat adalah 10 kantong.

Studi Kasus 3: Soal Penalaran Lanjutan (Gabungan)

Soal Lanjutan: (Dari Studi Kasus 2) Jika Ibu guru membuat 10 kantong, berapa isi buku dan pensil di *setiap* kantong?

Penalaran: Ini adalah aplikasi setelah menemukan FPB. Kita tinggal membagi jumlah barang asli dengan nilai FPB (10).

  • Isi Buku per kantong: 20 buku : 10 kantong = 2 buku.
  • Isi Pensil per kantong: 30 pensil : 10 kantong = 3 pensil.

Jawaban: Setiap kantong berisi 2 buku dan 3 pensil.